自然资源部第三海洋研究所硕士研究生入学考试

《高等数学（甲）》考试大纲

本大纲适用于自然资源部第三海洋研究所物理海洋学专业的硕士研究生入学考试。高等数学是物理海洋学科专业的基础课程，主要目的是考查学生的高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和常用的运算技能，其主要内容包括函数、极限、连续，导数与微分，一元函数积分学，一元函数微分学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数、微分方程，和线性代数等。同时测试考生的数学素质，考查掌握高等数学的基本思想和方法，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

一、考试内容及要求

一、函数、极限、连续

理解函数概念，掌握基本初等函数的性质与图形。了解极限的定义，掌握极限的四则运算法则。理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和中值定理)并会应用这些性质。

二、一元函数微分学

理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程。了解导数的物理意义。理解函数的可导与连续之间的关系。掌握导数与微分的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本的求导公式。了解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。理解罗尔定理、拉格朗日中值定理。掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法。掌握用导数判别函数的增减性及求函数的极值、最大值和最小值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘较简单的函数的图形。

三、一元函数积分学

理解原函数、不定积分、定积分概念，理解积分中值定理。掌握不定积分和定积分换元法和分部积分法，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。理解积分上限函数及其求导定理，熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式。掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(如面积、体积)的方法。

四、多元函数微分学

理解多元函数概念，了解二元函数极限与连续概念以及有界闭区域上连续函数性质。理解偏导数、方向导数、梯度和全微分概念并掌握它们的计算方法。了解全微分存在的必要和充分条件。掌握复合函数与隐函数的一、二阶导数的求法，了解曲线的切线及曲面的切平面与法线，会求函数的极值，会解决简单的最值问题。

五、多元函数积分学

理解二重积分的概念并掌握其计算方法（直角坐标与极坐标），并会用二重积分来计算一些几何与物理量(如面积、体积、弧长、质量、重心)。

六、无穷级数与微分方程

理解数项级数收敛、发散以及和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。掌握基本初等函数展开为泰勒级数的幂级数展开式。了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离方程及一阶线性微分方程的解法，了解齐次方程的解法。了解线性微分方程解的性质及结构定理。

七、线性代数

理解行列式的性质与计算。理解矩阵的概念，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量。会用线性方程组的克拉默(Cramer)法则，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念。会用初等行变换求解线性方程组。会将矩阵化为相似对角矩阵，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。

主要参考书目：

1、《高等数学》(上、下册).同济大学数学系主编.北京：高等教育出版社, 第五版，2002。（为主要参考书，也可使用其后任一版本）

2、《线性代数》.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社, 第四版，2003.（也可使用其后任一版本）