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考研数学:行列式计算如何破解

   2016年04月18日 来源:跨考教育

行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习线性代数必须掌握的两大基本技能之一(另一项是线性方程组)。后面的很多知识点都会用到行列式,如判断矩阵的可逆性,求矩阵的秩,求矩阵的特征值等。在考试中,这一部分如果单独出题的话往往以选择题或填空题的形式出现,且以考查抽象矩阵的行列式为主;更多的时候,行列式是与其他知识点(如线性方程组、特征值与特征向量等)结合起来考查的,我们往往把行列式视为解决问题的工具。

考生在复习行列式时,主要从如下三方面来把握:

首先理解行列式的定义,掌握行列式的基本性质和行列式按行按列展开的定理,并会利用他们计算各种形式的行列式。

其次是行列式与矩阵的各种运算的关系,如行列式与矩阵的乘积,数乘和矩阵的分块等运算的关系。

最后,也是最重要的,是行列式与线性代数中其他概念的关系:如齐次线性方程组有无非零解的充要条件;N个N维列向量线性无关的充要条件;实对称矩阵正定的充要条件。

行列式常见题型与方法总结如下:

题型一:对逆序及行列式定义的考查,正确理解概念,题型一便可迎刃而解。

题型二:抽象行列式的计算,解题思路为(1)用行列式的性质做恒等变形;(2)利用行列式与矩阵乘法的关系简化计算;(3)利用特征值与行列式的关系。

题型三:数字型行列式的计算,解题方法为(1)公式法,低阶行列式,二阶三阶常可直接代公式;三阶或以上按照行列式展开定理进行降阶后再计算。(2)三角化法,用行列式的性质做恒等变形,将行列式化为上三角或下三角行列式。(3)递推法,利用行列式按行或按列展开的定理对行列式降阶,得到递推式,再通过递推式求通式。

以上是跨考教育数学教研室对线性代数行列式这一考点的解析,有助于考生在复习线性代数行列式这部分内容时,有一个宏观了解,平时还要多加练习,天道酬勤!