题号：602

《数学分析》考试大纲

考试内容：

第一部分  一元函数微积分

一 极限理论 函数的连续性

1. 熟练掌握数列的极限理论, 包括极限的定义、性质等

2. 熟练掌握函数极限，包括定义、性质、无穷小量比较等

3. 熟练掌握函数的连续性与连续函数的性质, 包括连续点与间断点的分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质。初掌握一致连续性

4. 掌握实数的完备性定理，包括确界存在原理、单调收敛定理、区间套定理、Cauchy收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理

5. 初步掌握上、下极限概念

二 导数与微分

1. 熟练掌握导数与微分的概念、性质，掌握导数与微分的应用，包括函数的单调性与极值，凹凸性, 拐点；渐近线与函数作图

2. 熟练掌握求导法则，包括基本运算性质，复合函数求导法则，参数方程给出的函数的求导法则等

3. 熟练掌握微分中值定理，包括Fermat定理，Lagrange定理，Cauchy定理与Taylor公式, 熟练掌握不定型的极限的计算

三  积分

1. 深刻理解不定积分的概念和意义，熟练掌握包括分部积分法和换元积分法在内的积分法；掌握有理函数的积分法；熟悉三角函数有理式的积分法以及常见无理函数的积分法

2. 深刻理解定积分的概念及基本性质，熟练掌握定积分的计算, 掌握定积分的应用，包括微元法和面积、弧长、曲率等的计算

3. 熟悉反常积分理论

四 级数

1. 掌握数项级数的收敛概念与收敛判别法，熟练掌握正项级数的各种收敛判别法，熟练掌握一般项级数敛散判别法

2. 掌握函数项级数与函数项序列的性质以及一致收敛性的判别法

3. 熟练掌握幂级数收敛区间的概念及其确定方法，掌握函数展开成幂级数（Taylor级数）与一些常用函数的幂级数

4. 熟练掌握Fourier级数的概念及Fourier级数的收敛定理以及周期函数的Fourier级数展开；初步了解非周期函数的Fourier积分

第二部分  多元函数微积分

一 微分

1. 熟练掌握多元函数极限的概念、性质与计算

2. 熟练掌握多元函数的偏导数、梯度、方向导数、微分法、微分中值定理、极值的求解等

3. 掌握隐函数定理

4. 了解向量值函数的微分学

二 积分

熟练掌握二、三重积分，包括积分变换等计算方法

熟练掌握第一型、第二型曲线积分, 以及它们之间的关系

熟练掌握第一型、第二型曲面积分的计算及它们之间的关系

熟练掌握Green公式、Gauss公式、Stokes公式

了解场论初步，包括几种常见的数量场和向量场

掌握含参变量的积分理论, 包括基本性质、一致收敛性的判定、欧拉积分(函数和函数)

题号：864

《高等代数》考试大纲

考试内容

(一) 行列式

1．n阶行列式的概念和基本性质。

2．行列式按一行(列)展开定理，Laplace定理，行列式乘积法则。

(二) 矩  阵

1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。

2．矩阵的秩的概念及性质。

3．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。

4．初等矩阵的概念和性质。

5．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。

6．分块初等矩阵及应用。

(三) 向  量

1．向量的概念、运算，向量的内积。

2．向量组的线性相关与线性无关。

3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。

4．等价向量组的概念和性质。

5．向量空间的概念，基与正交基、规范正交基。

(四) 线性方程组

1．Cramer法则。

2．求解线性方程组的消元法。

3．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

4．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。

5．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。

(五) 相似矩阵

1．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质。

2．相似变换、相似矩阵的概念及性质。

3．矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵。

4．正交矩阵、实对称阵及其性质，实对称阵正交相似于对角阵的计算。

5．l‐矩阵及其标准形，行列式因子，不变因子，初等因子。

6．Jordan标准形及相似变换阵的计算。

7．Hamlton-Cayley定理，最小多项式。

(六) 二次型

1．二次型的矩阵表示及秩。

2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。

3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。

4．用正交变换化二次型为标准型。

5．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定理。

6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。

(七) 线性空间

1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。

2．线性子空间及其交与和的基与维数。

3．线性空间的基变换和过渡矩阵。

4．线性子空间的直和。

5．线性空间的同构。

(八) 线性变换

1．线性变换的概念及矩阵表示。

2．象子空间与核子空间的基与维数。

3．线性变换的运算及在给定基下的矩阵。

4．线性变换的特征值与特征向量。

5．不同基下线性变换的矩阵间关系及其化简。

6．不变子空间。

(九) 欧氏空间

1．元素的内积、范数、夹角。

2．Gram-Schmidt正交化过程，规范正交基。

3．正交子空间和正交补。

4．正交变换和对称变换的概念和性质。