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微分方程内容概要与重难点提示

2016年02月25日 来源:跨考教育

  常微分方程的研究对象就是常微分方程解的性质与求法.跨考教育数学教研室郭静娟老师提醒考生,在复习这一章节时主要有两个问题,一是根据实际问题和所给条件建立含有自变量、未知函数及未知函数的导数的方程及相应的初始条件;二是求解方程,包括方程的通解和满足初始条件的特解。

  1.关于列方程

  有关微分方程的应用题,首先是建立方程,这要根据题意,分析条件,搞清问题所涉及到的基本物理或几何量的意义,并结合其他相关知识,通过逻辑推理等综合手段,使问题得到解决。

  列方程,建立数学模型,是考查考生综合应用能力的重要方面,是考试的重点内容之一,同时也是考生的难点,考生要通过练习,结合自己的实际,总结建立微分方程的步骤及注意事项(例如正负号的处理)。

  有些微分方程可能是数学问题中提供的,例如有的微分方程是由积分方程提出的,有的来自线积分与路径无关的充要条件,或微分式子是某个原函数的全微分.此时应转化成微分方程来求解,同时还应注意到所给条件中可能还提供了函数的某个函数值、导数值(即初始条件)等信息。

  2.关于解方程

  首先,应掌握方程类型的判别,因为不同类型的方程有不同的解法,同一个方程,可能属于多种不同的类型,则应选择较易求解的方法.对于一阶方程,通常可按可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的顺序进行,特别是一阶线性方程和伯努利方程还应注意到有时可以以x为因变量,y为自变量得到,对于高阶方程,一般可按线性方程、欧拉方程、高阶可降阶的方程进行。

  第二,是求解方程,不同类型的方程有不同的求解方法,应该熟练掌握,典型方程可用固定的变量置换化简并求解(如齐次方程、线性方程、伯努利方程、高阶可降阶方程、欧拉方程等),如用公式求解一阶线性方程,则应注意公式应用的条件——方程应化成标准形式,对于线性方程,应搞清解的结构理论及齐次线性常系数方程的特征方程及非齐次方程的特解的设定等。

  第三,对于不属于典型方程的方程,作变量代换是一个有效途径,作什么样的变量代换要结合具体方程的特点来考虑,一般以克服求解方程的困难为目标,选择变量代换可采用试探方式,合适的、使方程得到化简并顺利求解的则采用,否则应重新选择,平时应多练习,这样可以帮助你选择合适的变量代换。

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